Dimensiones en series y funciones trascendentes
Tarjetas de repaso sobre homogeneidad dimensional en desarrollos de Taylor, funciones trascendentes y soluciones exponenciales de EDOs.
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Questions Covered in This Set
10 cards to master
¿Qué condición dimensional debe cumplir el argumento de toda función trascendente (exp, ln, sin, tanh, arctan)?
Debe ser adimensional: [x] = 1. Se demuestra con el desarrollo en serie: e^x = 1 + x + x²/2! + ..., donde el término '1' obliga a que todos los demás sean números puros.
En v = v₀·e^(−t/τ), ¿dónde reside la dimensión de v?
Toda la dimensión está en v₀, porque [e^(−t/τ)] = 1 (el resultado de una función trascendente también es adimensional). Además [τ] = T.
En y = A·sin(kx − ωt + φ), ¿cuáles son las dimensiones de A, k, ω y φ?
[A] = [y], [k] = L⁻¹, [ω] = T⁻¹, [φ] = 1. Cada sumando del argumento debe ser adimensional por separado, no solo la suma.
¿Por qué expresiones como S = k_B·ln V o ln(P) son estrictamente inhomogéneas, y cómo se justifican?
Lo correcto es ln(V/V₀) o ln(P/P₀); la constante de referencia se ha absorbido, ya que ln(V/V₀) = ln V − ln V₀ y la constante aditiva no afecta a diferencias ni derivadas. Lo mismo ocurre con decibelios, magnitudes estelares y pH.
En el desarrollo de Taylor f(x₀+h) = f(x₀) + f'(x₀)h + ½f''(x₀)h² + ..., ¿qué dimensión tiene la derivada n-ésima?
[f⁽ⁿ⁾] = [f]·[x]⁻ⁿ, y como [hⁿ] = [x]ⁿ, cada término vale exactamente [f]: la serie es homogénea término a término aunque no sea adimensional.
¿Qué dimensión tiene U''(r₀) en U(r) ≈ U(r₀) + ½U''(r₀)(r−r₀)² y qué permite deducir?
[U''] = M·T⁻² (N/m), es decir una constante elástica k. De ahí ω = √(U''(r₀)/m) sale con T⁻¹ sin hacer cuentas.
En γ = (1 − v²/c²)^(−1/2) ≈ 1 + ½v²/c², ¿qué impone el exponente no entero?
Exige [v²/c²] = 1 (base adimensional). Así E = γmc² ≈ mc² + ½mv² resulta homogénea término a término.
Al probar x = A·e^(λt) en m·ẍ + b·ẋ + kx = 0, ¿qué dimensión tiene λ y por qué?
[λ] = T⁻¹ siempre, porque [λt] = 1. La ecuación característica mλ² + bλ + k = 0 es homogénea: todos los términos valen M·T⁻².
¿Por qué el criterio de amortiguamiento crítico b² = 4mk está bien escrito dimensionalmente?
Porque el discriminante b² − 4mk es homogéneo: [b²] = M²T⁻² = [mk]. La combinación adimensional de control es ζ = b/(2√(mk)).
Si en un desarrollo en serie aparece un término que no cuadra dimensionalmente, ¿dónde está casi siempre el error?
En haber olvidado una potencia de la variable de expansión (h o x−x₀), o un factor de la derivada correspondiente.
