Ecuaciones inhomogéneas y fórmulas empíricas
Tarjetas para reconocer, justificar y reconvertir fórmulas empíricas dimensionalmente inhomogéneas en el examen.
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Study Smart Tips for Ecuaciones inhomogéneas y fórmulas empíricas
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Questions Covered in This Set
10 cards to master
¿Cuándo una ecuación es dimensionalmente homogénea?
Cuando todos sus términos aditivos tienen las mismas dimensiones y los argumentos de funciones trascendentes (sen, ln, exp, tanh) son adimensionales.
¿Qué es una ecuación inhomogénea o fórmula empírica?
Una relación ajustada a datos que falla el criterio de Fourier porque su coeficiente numérico lleva dimensiones ocultas; solo es válida en el sistema de unidades en que se ajustó.
¿Cuál es la 'firma visual' de una fórmula empírica en el examen?
Una constante numérica desnuda (p. ej. 3,1; 1,84; 1,42) multiplicando potencias fraccionarias de magnitudes dimensionales.
Procedimiento de examen (3 pasos) para probar inhomogeneidad
1) Dimensionar cada lado suponiendo constantes adimensionales. 2) Escribir el déficit dimensional Π = [izq]/[der]. 3) Declarar que k debe portar las dimensiones Π, luego la validez es solo en ese sistema de unidades.
Déficit dimensional de v = 3,1·√L (nudos y pies)
[izq] = L·T⁻¹, [der] = L^1/2 ⇒ Π = L^1/2·T⁻¹; el 3,1 tiene unidades de nudo/pie^1/2.
¿Cuál es la versión homogénea y universal de v = 3,1√L?
v = √(gL): la gravedad dentro de la raíz aporta las dimensiones faltantes y la ecuación se vuelve homogénea sin coeficiente oculto.
Análisis dimensional de la fórmula de Manning v = (1/n)R^{2/3}S^{1/2}
[v] = L·T⁻¹, [R^{2/3}] = L^{2/3}, n y S adimensionales ⇒ déficit L^{1/3}·T⁻¹; el '1' vale realmente 1 m^{1/3}/s.
¿Por qué el prefactor de Manning pasa de 1,00 a 1,49?
Porque 1 m^{1/3}/s = (3,2808)^{1/3} ft^{1/3}/s ≈ 1,486 ft^{1/3}/s: es la conversión del coeficiente dimensional de metros a pies.
Regla de conversión del coeficiente para y = k·x₁^{a₁}x₂^{a₂}…
k' = k · u_y / Π u_{xi}^{ai}, donde cada u es el factor de conversión de la unidad vieja a la nueva.
Convierte v = 3,1√L (nudos, pies) al SI
k' = 3,1 × 0,5144 / √0,3048 ≈ 2,89 ⇒ v[m/s] ≈ 2,89·√(L[m]), muy cercano a √g ≈ 3,13.
